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    来道数学题

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    • wumingshiW
      wumingshi
      最后由 编辑

      请构造一个定义在 [0, +∞) 上的连续函数,使得:
      一,当 x 趋向于正无穷时,lim f(x) = 0,且 lim f'(x) 不存在;
      二,f(x) 是严格单调递增函数;
      三,f(x) 任意阶可导。

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      • ?
        游客
        最后由 编辑

        好眼熟。楼主给个难度划分吧,数分的知识够吗

        1 条回复 最后回复 回复 引用 0
        • ?
          游客
          最后由 编辑

          Mathematica analytic了解下

          1 条回复 最后回复 回复 引用 0
          • Y
            yhtq
            最后由 编辑

            取 f′(x)=sin⁡2(x2)f'(x) = \sin^2(x^2)f′(x)=sin2(x2),恒正(且零点集零测) + 无穷阶可导 + 无穷处极限不存在 + 无穷积分收敛 (0≤∫absin⁡2(x2)dx≤1a∫abxsin⁡2(x2)dx≤2a0 \leq \int_a^b \sin^2(x^2) dx \leq\frac{1}{a}\int_a^b x \sin^2(x^2) dx \leq\frac{2}{a}0≤∫ab​sin2(x2)dx≤a1​∫ab​xsin2(x2)dx≤a2​,柯西法则立得收敛 )

            wumingshiW 1 条回复 最后回复 回复 引用 1
            • wumingshiW
              wumingshi @yhtq
              最后由 wumingshi 编辑

              @yhtq 看到你的构造我在想,有没有可能加上下面这些条件后,仍然是可以构造出实例的:
              一,f'(x)在 [0, +∞) 上有定义
              二,f'(x) 无界
              三,对于任意小的正数 Δx 和任意大的正数 x0,都存在 x1 > x0,使得 f'(x) 在 (x1, x1+Δx) 上存在两个零点。
              不要求任意阶可导用分段的方式好像还挺直观的,不知道任意阶可导应该怎么构造

              想想感觉自己只是想了个纯堆技巧的平凡的题目,有点无趣

              ? 1 条回复 最后回复 回复 引用 0
              • ?
                游客 @wumingshi
                最后由 编辑

                这条件三没啥意义啊(直接取极值点附近就行),只要求无界的话稍微乘个幂函数就行

                1 条回复 最后回复 回复 引用 0
                • ?
                  游客
                  最后由 编辑

                  你这个题从直观的想能不能这样:一系列面积相等但越发尖锐的波包乘以一个衰减的函数并积分?
                  比如构造

                  δn(x)=n!e−1n!x−11−n!x \delta_n(x)=n!e^{-\frac{1}{n!x}-\frac{1}{1-n!x}} δn​(x)=n!e−n!x1​−1−n!x1​
                  (并且在其他地方都令其为0),显然这个函数积分值和n无关。
                  令
                  f′(x)=∑n=1∞δn(x−5n)e−n f^{'}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\delta_n(x-5n)e^{-n} f′(x)=n=1∑∞​δn​(x−5n)e−n

                  显然f(x)存在(积分收敛性很好),但是显然x趋于无穷时f'(x)是无界的

                  1 条回复 最后回复 回复 引用 0
                  • ?
                    游客
                    最后由 编辑

                    说实话用exp(-1/x)这种函数构造分段任意阶可导就是非常显然的了

                    1 条回复 最后回复 回复 引用 0
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